Τριγωνομετρία ποιος θυμάται;

[goku]

Λοιπόν, προσπαθώ να κάνω κάποιους υπολογισμούς σε ένα τρίγωνο, έστω ΑΒΓ.

Γνωρίζω τα μήκη και των 3 πλευρών (Α-Β, Β-Γ και Γ-Α).

Δεν γνωρίζω καμία γωνία (και σίγουρα δεν είναι ορθογώνιο για να χρησιμοποιήσω κάπου το πυθαγόρειο θεώρημα αν χρειαζόταν)

Γνωρίζω τις συντενταγμένες Χ, Υ των 2 από τα 3 σημεία του τριγώνου (Χ_Α Υ_Α και Χ_Β Υ_Β).

Αυτό που θέλω να μάθω, είναι αν υπάρχει τρόπος να υπολογίσω την συντενταγμένη του 3ου σημείου που λείπει, το Χ_Γ Υ_Γ δηλαδή.

Οι γωνίες δεν με ενδιαφέρουν εκτός αν χρειάζεται να υπολογιστούν κάπου ενδιάμεσα ώστε μετά να υπολογιστεί η συντενταγμένη του 3ου σημείου.

Καμιά ιδέα από τους μαθηματικούς του adslgr;

Θα με διευκόλυνε αν υπάρχουν και μαθηματικοί τύποι ώστε να τους περάσω στο Excel / Calc.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

[MTR]

Γ = σημείο τομής 2 κύκλων : 1ος κύκλος (κέντρο=Α, ακτίνα ρ1=ΑΓ) και 2ος κύκλος (κέντρο=Β, ακτίνα ρ2=ΒΓ).
Η λύση της εξίσωσης θα σου δώσει 2 σημεία.

Εξίσωση κύκλων : (X-Xa)^2 + (Y-Ya)^2 = ρ1^2 και (X-Xb)^2 + (Y-Yb)^2 = ρ2^2

[gcf]

Σωστά, και δεν είναι τριγωνομετρία αλλά αναλυτική γεωμετρία

[goku]

Χμ, τελικά είναι ποιο πολύπλοκο από ότι υπολόγιζα, καθώς δεν βλέπω άμεσο τρόπο για να τα μετατρέψω σε συναρτήσεις με έναν άγνωστο ώστε μετά να τα μεταφέρω σε συνάρτηση στο excel. Ευχαριστώ πάντως για τις πληροφορίες, θα δω μήπως καταφέρω να το παλέψω κάπως.

[MTR]

A(X1,Y1) και ΑΓ=a / B(X2,Y2) και ΒΓ=b

C =((b^2)-(a^2)+(X1^2)-(X2^2)+(Y1^2)-(Y2^2))/2
L =X1-X2
M=Y1-Y2
AA=(M^2)/(L^2)+1
BB=2*C*M/(L^2)-2*X1*M/L+2*Y1
CC=(C^2)/(L^2)+(X1^2)+(Y1^2)-(a^2)-2*X1*C/L
D =(BB^2)-4*AA*CC

1ο σημείο: Ya=(BB+Sqrt(D))/(2*AA) - Xa=(C-M*Ya)/L
2ο σημείο: Yb=(BB-Sqrt(D))/(2*AA) - Xb=(C-M*Yb)/L

Λύσεις υπάρχουν όταν L<>0 και D>=0

[goku]

A(X1,Y1) και ΑΓ=a / B(X2,Y2) και ΒΓ=b

C =((b^2)-(a^2)+(X1^2)-(X2^2)+(Y1^2)-(Y2^2))/2
L =X1-X2
M=Y1-Y2
AA=(M^2)/(L^2)+1
BB=2*C*M/(L^2)-2*X1*M/L+2*Y1
CC=(C^2)/(L^2)+(X1^2)+(Y1^2)-(a^2)-2*X1*C/L
D =(BB^2)-4*AA*CC

1ο σημείο: Ya=(BB+Sqrt(D))/(2*AA) - Xa=(C-M*Ya)/L
2ο σημείο: Yb=(BB-Sqrt(D))/(2*AA) - Xb=(C-M*Yb)/L

Λύσεις υπάρχουν όταν L<>0 και D>=0

Είσαι τέλειος. Θα κάνω ένα τσεκ όταν θα έχω χρόνο και θα ενημερώσω.

- - - Updated - - -

εδώ

Ya=(BB+Sqrt(D))/(2*AA) - Xa=(C-M*Ya)/L

και εδώ

Yb=(BB-Sqrt(D))/(2*AA) - Xb=(C-M*Yb)/L

γιατί έχεις δύο = σε κάθε παράσταση;

[MTR]

1o Σημείο(Xa,Ya)
2o Σημείο(Xb,Yb)

Δεν έχει 2 "=", είναι ξεχωριστά τα Χa και Ya στην ίδια γραμμή. Το "-" το έβαλα σαν διαχωριστικό, δεν είναι "αφαίρεση"

Δηλ. το "Υ" του 1ου είναι : (BB+Sqrt(D))/(2*AA) και το "Χ" του είναι : (C-M*Ya)/L
(Βρίσκω πρώτα το "Υ" γιατί μου χρειάζεται για να υπολογίσω και το "Χ")

[gcf]

(Ενημερωτικά)
Για να το λύσουμε και με τριγωνομετρία που είπαμε, μπορεί να εφαρμοστεί ο νόμος των συνημιτόνων
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines

[WAntilles]

1. Το πρόβλημα λύνεται με Ευκλείδια Γεωμετρία, με κανόνα και διαβήτη.

Το 3ο σημείο θα είναι η τομή 2 κύκλων των οποίων γνωρίζεις τα κέντρα και τις ακτίνες, άρα κατασκευάζονται.

2. Με βάση την παραπάνω γεωμετρική ανάλυση, μπορείς να ανάγεις το πρόβλημα και σε ένα άλλο:

Αν από το 3ο (άγνωστο σημείο) φέρεις το ύψος προς την γνωστή πλευρά, τότε σχηματίζονται 2 ορθογώνια τρίγωνα τα οποία:

α. έχουν μία κοινή κάθετη πλευρά (ας πούμε δ).

β. το άθροισμα των δύο άλλων καθέτων τους ε+ζ=α

και έχεις:

δ2+ε2=β2
δ2+ζ2=γ2
ε+ζ=α

αφαιρείς τις πρώτες 2 κατά μέλη:

ε2-ζ2=β2-γ2
ε+ζ=α

(ε+ζ)(ε-ζ)=β2+γ2
ε+ζ=α

α(ε-ζ)=β2+γ2
ε+ζ=α

ε+ζ=α
ε-ζ=(β2+γ2)/α

ε=(α+((β2+γ2)/α)/2)
ζ=α-(α+((β2+γ2)/α)/2)

Έλυσα διαφορετικό πρόβλημα, αλλά δεν πειράζει.

Προφανώς από εδώ βγαίνουν και οι 2 προσκείμενες γωνίες στην πλευρά γ:

αα=arccos(ε/α)
ββ=arccos(ζ/β)

[goku]

1o Σημείο(Xa,Ya)
2o Σημείο(Xb,Yb)

Δεν έχει 2 "=", είναι ξεχωριστά τα Χa και Ya στην ίδια γραμμή. Το "-" το έβαλα σαν διαχωριστικό, δεν είναι "αφαίρεση"

Δηλ. το "Υ" του 1ου είναι : (BB+Sqrt(D))/(2*AA) και το "Χ" του είναι : (C-M*Ya)/L
(Βρίσκω πρώτα το "Υ" γιατί μου χρειάζεται για να υπολογίσω και το "Χ")

Τελικά ή εγώ έχω κάνει κάτι λάθος, ή είναι λάθος οι υπολογισμοί. Για απλοποίηση χρησιμοποίησα ένα ορθογώνιο τρίγωνο με τις 2 κάθετες πλευρές να έχουν μήκος 3 μονάδες και 4 μονάδες αντίστοιχα, ώστε με βάση το θεώρημα του Πυθαγόρα η 3η πλευρά να έχει μήκος 5 μονάδες. Οι γωνίες είναι οι Α(0,0), Β(3,0) και η Γ(3,4) και με ΑΒ=3, ΒΓ=4 και ΑΓ=5. Εκτός αν κάνω εγώ κάτι λάθος.

[MTR]

Έκανα αντικατάσταση τα σημεία σου και μου το βγάζει σωστά.
Κάπου κάνεις λάθος εσύ.

Κοίτα και το excel που σου επισυνάπτω και κάνε δοκιμές με άλλα σημεία.

[ioetisap]

Ισοδύναμο με παραπάνω λύση, απλά άλλο ας πούμε σκεπτικό:
Τύπος αποστάσεως δηλαδή πυθαγόρειο για κορυφές;;
Και μετά λύση συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους;;

ΥΓ: (xΑ-xΓ)^2 + (yΑ-yΓ)^2= ΑΓ^2 και (xΒ-xΓ)^2 + (yΒ-yΓ)^2= ΒΓ^2